Уравнение Бернулли для струйки идеальной жидкости

Рассмотрим пример стационарного потока тонкой струи идеальной жидкости, движущейся только под влиянием силы тяжести (см. рис. ZSK.4). Поскольку жидкость идеализирована и не обладает вязкостью, в потоке могут возникать исключительно нормальные напряжения – то есть только давление, без касательных сил и трения.

Чтобы вывести уравнение Бернулли, обозначим два контрольных поперечных сечения струи: 1-1 и 2-2, а в качестве базы используем горизонтальную плоскость 0-0. Предположим, что в первом сечении с площадью S₁ жидкость имеет скорость v₁, находится под давлением p₁, а её центр тяжести расположен на высоте z₁ относительно базовой плоскости. Второе сечение аналогично определяется величинами S₂, v₂, p₂ и z₂.

В течение малого интервала времени dt участок жидкости между сечениями 1-1 и 2-2 продвигается вперёд и оказывается между новыми сечениями 1′-1′ и 2′-2′. При этом сечение 1-1 сдвигается на расстояние dl₁, а сечение 2-2 на dl₂.

Рис. ZSK.4 Схема струйки идеальной жидкости

Предположим, что участок жидкости, находящийся между сечениями 1′-1′ и 2-2, остаётся условно в покое, тогда как объём, заключённый между сечениями 1-1 и 1′, перемещается в зону между 2-2 и 2′. Эти затемнённые участки (см. рис. ZSK.4) равны по объему: S₁·dl₁ = S₂·dl₂ = dW. Таким образом, масса перемещающегося объёма будет одинаковой и равной dm, а его вес обозначим как dG.

Обратимся к теореме о работе и изменении кинетической энергии, согласно которой разность кинетических энергий тел равна сумме работ всех действующих на них сил. Поскольку участок между 1′ и 2–2 остаётся неподвижным, его энергия не изменяется, а прирост кинетической энергии полностью связан с движущимися объёмами. Тогда:

dE_k = ½ dm (v₂² – v₁²)

Полный объём выполненной работы включает в себя действие силы тяжести и приложенных давлений. Энергия, затраченная силой тяжести, рассчитывается как произведение веса на разницу уровней, на которые переместился центр тяжести жидкости:

L_g = dG(z₁ – z₂)

Работа, совершаемая силами давления, складывается из двух частей. Первая – положительная работа, которая осуществляется благодаря воздействию давления p₁, способствующего движению жидкости. Вторая – отрицательная, связанная с сопротивлением давления p₂, возникающего на выходе и мешающего движению потока:

L_p = p₁S₁dl₁ – p₂S₂dl₂ = dW(p₁ – p₂)

Если объединить работы, выполняемые силами давления и тяжести, и приравнять их к приросту кинетической энергии перемещающегося объёма жидкости, можно записать следующее выражение:

dG(z₁ – z₂) + dW(p₁ – p₂) = ½ dm (v₂² – v₁²)

Здесь отражается основной закон сохранения энергии для потока жидкости.

Разделим обе части на dG и выразим:

(z₁ – z₂) + (p₁ – p₂)/γ = ½ (v₂² – v₁²)/g

Переходя к удельным значениям и используя γ = ρg и dm = ρdW, получаем окончательную форму уравнения Бернулли:

p/ρg + v²/2g + z = const

Каждое слагаемое уравнения имеет энергетический смысл:

• z – удельная потенциальная энергия положения (нивелирная высота),
• p/ρg – пьезометрическая высота (энергия давления),
• v²/2g – скоростной напор (удельная кинетическая энергия).

Сумма всех трёх составляющих в любом сечении струи представляет собой полную удельную энергию, называемую полным напором (H):

H = z + p/ρg + v²/2g

Таким образом, уравнение Бернулли формулирует следующий принцип: в потоке идеальной несжимаемой жидкости, где отсутствуют силы трения и посторонние воздействия, суммарная механическая энергия на единицу веса жидкости остаётся неизменной вдоль линии тока. Иными словами, сумма давления, потенциальной (гравитационной) энергии и кинетической энергии не изменяется при перемещении жидкости от одной точки к другой.