Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости

При реальном течении жидкости, обладающей вязкостью, внутри потока неизбежно появляются нормальные и касательные напряжения. Это объясняется тем, что вязкая среда оказывает сопротивление относительному смещению своих частиц и слоёв, не позволяя им свободно скользить друг относительно друга. По сути, вязкость — это внутреннее трение жидкости, из-за которого часть передаваемой энергии рассеивается.

Рассмотрим элементарную струйку жидкости в установившемся режиме течения. Для идеальной невязкой жидкости справедливо предположение о сохранении полного запаса удельной механической энергии вдоль линии тока. Однако в реальной жидкости это условие нарушается: часть энергии неизбежно расходуется на преодоление внутренних сопротивлений. Соседние слои жидкости скользят с разными скоростями, и между ними возникают силы трения, преобразующие механическую энергию в теплоту.

В результате при перемещении потока от одного сечения к другому происходит постепенное снижение величины удельной энергии. Энергетический уровень жидкости в исходном сечении всегда выше, чем в следующем по ходу потока. Разница между ними как раз и соответствует потерям энергии на трение.

Для удобства анализа эти потери выражают через потери напора на трение, обозначаемые ℎтр. Данное значение характеризует, на какую высоту пришлось бы поднять столб жидкости, чтобы компенсировать затраченные силы на внутреннее сопротивление.

Влияющие факторы потерь напора

Величина потерь на трение зависит от целого ряда параметров:

• Длины трубопровода или канала — чем больше путь, пройденный потоком, тем значительнее потери энергии.
• Свойств жидкости — её плотности и, главное, динамической вязкости, определяющей сопротивление сдвигу слоёв.
• Скорости движения потока — при увеличении скорости возрастает и интенсивность трения.
• Гидравлических характеристик канала — диаметра и формы сечения, шероховатости стенок, наличия поворотов, сужений, фасонных частей.

Таким образом, при анализе течения реальных жидкостей всегда учитывают потери напора на трение, так как именно они объясняют, почему уравнение Бернулли для реальной среды дополняют членами, учитывающими необратимые потери энергии.

Уравнение Бернулли для вязкой жидкости

С учётом этих дополнительных членов уравнение Бернулли для реальной (вязкой) жидкости можно записать в виде:

где:

• p/ρg – удельная энергия давления (пьезометрическая высота),
• z – геометрическая высота сечения над плоскостью сравнения,
• u²/2g – скоростной напор,
• hтр – потери напора на трение, возникающие из-за вязкости.

В отличие от идеальной жидкости, в данном случае напорная линия не остаётся горизонтальной, а постепенно снижается по направлению течения, что отражает убывание полного энергетического запаса.

Расчёт потерь напора

Потери напора могут описываться через эмпирические зависимости, например уравнением Дарси–Вейсбаха:

где:

• λ – коэффициент гидравлического сопротивления,
• l – длина участка трубопровода,
• d – его гидравлический диаметр,
• u – средняя скорость движения жидкости.

Таким образом, уравнение Бернулли для вязкой жидкости показывает, что часть механической энергии неизбежно переходит в тепловую форму вследствие трения, что приводит к снижению давления и напора вдоль потока.